(资料图)

一、题文

(2012浙江高考数学)20．(本小题满分15分)如图，在四棱锥 P — ABCD 中，底面是边长为 的菱形，且∠ BAD ＝120°，且 PA ⊥平面 ABCD ， PA ＝ ， M ， N 分别为 PB ， PD 的中点． (Ⅰ)证明： MN ∥平面 ABCD ； (Ⅱ) 过点 A 作 AQ ⊥ PC ，垂足为点 Q ，求二面角 A — MN — Q 的平面角的余弦值．

二、解答

试题分析：【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。 (Ⅰ)如图连接BD． ∵M，N分别为PB，PD的中点， ∴在PBD中，MN∥BD． 又MN平面ABCD， ∴MN∥平面ABCD； (Ⅱ)在菱形ABCD中， 得， AC=AB=BC=CD=DA 由因为PA 面ABCD，所以 , ,所以PB=PC=PD.所以 。而M、N分别是PB、PD的中点，所以 MQ=NQ，且AM=取线段MN的中点E，连结AE、EQ，则 ， 所以 为二面角 的平面角。 由AB= ， ，故在△AMN中，AM=AN=3，MN= BD=3，得在Rt△PAC中， ，得AQ= ,QC=2，PQ=4在△PBC中， ，得 在等腰△MQN中，MQ=NQ= ，MN=3，得在△AEQ中， ， ， ，得 ∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为 ． 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) ． 【考点定位】考察平行关系的证明与二面角的求解，掌握定理，正确理解空间位置是关键。

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